2.2 CORDENADAS HOMOGENEAS Y REPRESENTACIÓN 

MATRICIAL

Existen muchas aplicaciones que hacen uso de las transformaciones básicas en varias combinaciones, una figura construida a partir de un conjunto de formas definidas

Comúnmente requiere  que cada forma se reduzca a escala, se haga girar y se traslade para que se adapte a la posición adecuada en la figura , esta secuencia o sucesión de transformaciones podría llevarse a cabo paso a paso, primero las coordenadas que definen el objeto podrían reducirse a escala y finalmente las coordenadas rotadas podrían trasladarse a la localidad requerida. Un punto de vista más eficaz consiste en calcular las coordenadas finales en forma directa a partir de las coordenadas iniciales mediante el uso de métodos de matriciales con cada una de las transformaciones básicas expresada en forma de matriz

En las aplicaciones de diseño y de creación de imágenes, realizamos traslaciones, rotaciones y escalaciones para ajustar los componentes de la imagen en sus posiciones apropiadas. En este tema consideramos cómo se pueden volver a formular las representaciones de la matriz de modo que se pueden procesar de manera eficiente esas secuencias de transformación

Muchas aplicaciones gráficas implican secuencias de transformaciones geométricas. Por ejemplo, una animación podría requerir que se traslade y gire un objeto en cada incremento del movimiento. En aplicaciones de diseño y de creación de imágenes, realizamos traslaciones, rotaciones y escalaciones  para ajustar los componentes de la imagen en sus posiciones apropiadas.

Es posible expresar cada una de las transformaciones básicas en la forma de matriz general con las posiciones de coordenadas P y P’ representadas como columnas de vector

Dado que operamos usando matrices para efectuar estas transformaciones necesitamos modificarlas ligeramente por dos motivos:

*Para que no alteren de igual forma a un vector y a un punto, lo cual sería incorrecto.

*Para poder efectuar algunas transformaciones afines como la traslación, imposibles de efectuar multiplicando matrices si no se usan coordenadas homogéneas.

Es muy sencillo convertir un vector o un punto cartesiano a su representación homogénea. De hecho lo que se hace es añadir una nueva coordenada a las típicas XYZ. Añadimos la componente W de esta forma:

*Punto P1 = (x1, y1) en cartesianas es P1 = (x1, y1, w1) en homogéneas.

Vector v = (a, b) en cartesianas es v = (a, b, w) en homogéneas.

Los valores típicos para la nueva componente son:

W = 1, cuando tratemos con puntos.

W = 0, cuando sean vectores.

Por tanto el caso anterior queda modificado de la siguiente manera:

Punto P1 = (x1, y1, 1) en homogéneas.

Vector v = (a, b, 0) en homogéneas.

En el caso que

W

Sea diferente que 1 ó 0, tendremos que efectuar una sencilla operación para transformar un punto homogéneo en uno cartesiano. Si tenemos el punto:

P1 = (x1, y1, w1)

 En homogéneas, entonces en cartesianas el punto es

P1 = (x1/w1, y1/w1) 

Es decir, que

normalizamos

Cada una de las componentes XYZ del punto por subcomponente W. En el caso de W = 1 no hay que hacer nada pues la división es obvia, pero puede pasar que nos interese variar W y entonces no podremos usar las XYZ hasta haberlas normalizado según os acabo de explicar. Por lo tanto, podemos decir que:

P = (2, 3, 1) = (4, 6, 2) = (10, 15, 5)

Representación matricial

• Muchas aplicaciones incluyen secuencias de transformaciones geométricas:

– Una animación requiere que los objetos se trasladen y roten en cada fotograma

– Un diseño CAD requiere muchas transformaciones hasta obtener el resultado final

• Debemos formular de forma muy eficiente toda la secuencia de transformaciones

• Cada transformación puede representarse como P’ = P M1 + M2

• La matriz M1 contiene la información de ángulos y factores de escala

• La matriz M2 contiene los términos de traslación asociados al punto fijo y al centro de rotación

• Para producir una secuencia de transformaciones hay que calcular las nuevas coordenadas en cada transformación!

P’’ = P’ M3 + M4 = … = P M1 M3 + M2 M3 + M4

EJEMPLOS 

TRANSACCIÓN 

ESCALACIÓN 

ROTACIÓN 

INTEGRANTES DEL EQUIPO:
BAUTISTA ALONSO MARISSEY 
CALDERON HERNANDEZ MARTHA ISHELA 
FRANCISCO NAVARRO TERESA DE JESUS 
MARTINEZ MAR FILIBERTO 
MEJIA FERRER GABRIEL HUMBERTO 

BIBLIOGRAFIA:

Donald Hearn / M. Pauline Baker. Graficas por computadora. Ed. Prentice Hall Hispanoamericana.

Wright, Richard. Programación en OpenGL. Anaya Multimedia