La proyección es la representación gráfica de un objeto sobre una
superficie plana, obtenida al unir las intersecciones sobre dicho plano de las
líneas proyectantes de todos los puntos del objeto desde el vértice.
En términos generales, las proyecciones transforman puntos en un sistema
de coordenadas de dimensión n a puntos en un sistema de coordenadas con
dimensión menor que n. De hecho, durante mucho tiempo se ha usado la
graficación por computador para estudiar
objetos n-dimensionales por medio de su proyección sobre dos dimensiones.
La proyección de objetos tridimensionales es definida por rayos de
proyección rectos, llamados proyectores, que emanan de un centro de
proyección, pasan por cada punto del objeto
e intersecan un plano de proyección para formar la proyección. Por lo general,
el centro de proyección se encuentra a una distancia finita del plano de
proyección. Sin embargo, en algunos tipos de proyecciones es
conveniente pensar en función de un centro de
proyección que tienda a estar infinitamente lejos.
En la figura se presentan dos proyecciones diferentes de la misma línea. Afortunadamente, la proyección de una línea es en sí una línea, de manera que sólo hay que proyectar los puntos extremos. La clase de proyecciones que trataremos aquí se conoce como proyecciones geométricas planas, ya que la proyección es sobre un plano y no sobre una superficie curva y porque usa proyectores rectos y no curvos. Varias proyecciones cartográficas son no planas o no geométricas.
Al definir una proyección de
perspectiva se especifica explícitamente su centro de proyección; en el caso de
una proyección paralela, se indica su dirección de proyección. El centro de
proyección es un punto,
por lo cual tiene coordenadas homogéneas de la forma (x, y, z, 1). Como la dirección de
proyección es un vector (es decir, la diferencia entre dos puntos), lo podemos
calcular restando los dos
puntos d = (x, y, z, 1) - (x', y', z', 1) = (a, b, c, 0).
3.2.1 proyecciones paralelas
Se obtiene transfiriendo las descripciones de los objetos al plano de
visualización según unas trayectorias de proyección que pueden tener cualquier
dirección relativa seleccionada con respecto al vector normal del plano de
visualización.
Las proyecciones paralelas se
clasifican en dos tipos, dependiendo de la relación entre la dirección de la
proyección y la normal al plano de proyección. En las proyecciones paralelas
ortográficas, estas direcciones son las mismas (o en sentido contrario): de
manera que la dirección de la proyección es normal al plano de proyección. Esto
no ocurre en la proyección paralela oblicua, esta se definen utilizando un
vector de dirección para las líneas de proyección, y esta dirección puede
especificarse de varias formas.
Los tipos más comunes de proyecciones ortográficas son la de relación
frontal, elevación superior o elevación de plano y la de elevación lateral. En
todas ellas, el plano de proyección es perpendicular al eje principal, que por
lo tanto es la dirección de la proyección como por ejemplo:
Sin embargo, cada proyección sólo
muestra una cara del objeto, de manera que puede ser difícil deducir la
naturaleza tridimensional del objeto proyectado, incluso si se estudian
simultáneamente varias proyecciones del mismo objeto. Las proyecciones ortográficas
axonométricas usan planos de proyección que no son normales a un eje principal
y que por ende muestran varias caras de un objeto al mismo tiempo.
Las proyecciones
oblicuas combinan las propiedades de las proyecciones ortográficas frontal,
superior y lateral con las de una proyección axonométrica: el plano de
proyección es normal a un eje principal, de manera que la proyección de la cara
del objeto paralela a este plano permite medir ángulos y distancias. También se
proyectan otras caras del objeto, lo que permite medir las distancias sobre los
ejes principales, aunque no los ángulos. En la figura siguiente se muestra la
construcción de una proyección oblicua. Observe que la normal al plano de
proyección la dirección de la proyección no son iguales.
En el caso general de proyección paralela, se puede escoger cualquier
dirección para las rectas de proyección (siempre y cuando no sean paralelas a
la superficie de proyección). Supongamos que la dirección de proyección está
dada por el vector
y que la imagen va
ser proyectada sobre el plano xy.
Si tenemos un punto
del objeto, queremos
determinar el punto proyectado 
.Empecemos por
definir las ecuaciones de la recta que pasa por un punto
y tiene la dirección
de las rectas de proyección. De forma paramétrica:
y que la imagen va
ser proyectada sobre el plano xy.
Si tenemos un punto del objeto, queremos
determinar el punto proyectado .Empecemos por
definir las ecuaciones de la recta que pasa por un punto y tiene la dirección
de las rectas de proyección. De forma paramétrica: 
Ahora nos preguntamos dónde corta
esta línea al plano xy. Es
decir, cuales son los valores de x y cuando z=0.
Estas ecuaciones son de hecho una transformación que se pueden escribir
en forma matricial
o, de otra forma, en coordenadas
homogéneas
3.2.2 proyecciones isométricas
Una de las grandes ventajas del dibujo isométrico es que se puede
realizar el dibujo de cualquier modelo sin utilizar ninguna escala especial, ya
que las líneas paralelas a los ejes se toman en su verdadera magnitud. Así por
ejemplo, el cubo cuando lo dibujamos en forma isométrica queda con todas sus
aristas de igual medida.
Una proyección isométrica es un
método gráfico de representación, más específicamente una axonométrica1
cilíndrica2 ortogonal.3Constituye una representación visual de un objeto
tridimensional en dos dimensiones, en la que los tres ejes ortogonales
principales, al proyectarse, forman ángulos de 120º, y las dimensiones
paralelas a dichos ejes se miden en una misma escala.
La proyección axonométrica más
comúnmente utilizada es la proyección isométrica, que se genera alineando el
plano de proyección (o el objeto) de modo que el plano intersecte todos los
ejes de coordenadas sobre los que está definido el objeto, denominados ejes
principales, a la misma distancia del origen.
Una de las grandes ventajas del dibujo isométrico es que se puede
realizar el dibujo de cualquier modelo sin utilizar ninguna escala especial, ya
que las líneas paralelas a los ejes se toman en su verdadera magnitud. Así por
ejemplo, el cubo cuando lo dibujamos en forma isométrica queda con todas sus
aristas de igual medida.
3.2.3 Proyección de perspectiva
Este tipo de proyección cambia los tamaños de los objetos de modo
que aquellos que están mas alejados de la posición de visión se desplieguen de
menor tamaño que los que están mas próximos a la posición de visión. Las líneas
paralelas sobre la superficie de un objeto se proyectan ahora en líneas que
tienden a converger. Los objetos desplegados como proyecciones en perspectivas
parecen más naturales, ya que está es la manera en que el ojo y los lentes de
una cámara forman imágenes.
Las técnicas de la proyección perspectiva son generalizaciones de los
principios empleados por los artistas al preparar dibujos en perspectiva de
objetos y escenas tridimensionales. El plano que la contiene se vuelve el plano
de vista. Los dibujos en perspectiva se caracterizan por el acortamiento
perspectivo y los puntos de fuga. El acortamiento perspectivo es la ilusión de
que los objetos y longitudes parecen más pequeños conforme aumenta su distancia
con respecto al centro de proyección. La ilusión de que, cierto conjunto de líneas
paralelas parecen unirse en un punto es otra característica de los dibujos en
perspectiva. A dichos puntos se les denomina puntos principales de fuga están
formados por la intersección aparente de líneas paralelas a uno de los tres
ejes principales x, y o z.
El plano de vista que tiene esta
proyección se sitúa normalmente entre los objetos y el observador que son
definidas por punto de referencia de vista y vector normal al plano de vista.
Por ejemplo:
Para obtener una proyección de
perspectiva de un objeto tridimensional, se proyectan puntos a lo largo de
líneas de proyección que se interceptan en el centro de proyección. Por ejemplo
como se muestra en la imagen:
Si el centro de proyección está en 
y el punto del objeto
es
entonces el rayo proyectante será la recta que pasa por estos dos puntos y está dada, en forma paramétrica, por las ecuaciones
y el punto del objeto
esentonces el rayo proyectante será la recta que pasa por estos dos puntos y está dada, en forma paramétrica, por las ecuaciones
En punto proyectado
será el punto de
intersección de esta recta con el plano xy,
donde la coordenada z es nula.
será el punto de
intersección de esta recta con el plano xy,
donde la coordenada z es nula.
de otra forma:
Esta proyección puede ponerse en la forma de una matriz de transformación si tenemos en cuenta las propiedades de las coordenadas homogéneas. La forma de esta matriz será:
Para demostrar que esta transformación funciona, consideremos el punto
,en coordenadas
homogéneas tendremos
que multiplicado por la
matriz anterior nos da 
De esta expresión se deducen
fácilmente las coordenadas del punto proyectado que coinciden con las obtenidas
anteriormente de forma analítica.
3.2.4 identificación de superficies y líneas visibles.
Es posible aclarar las relaciones de profundidad identificando las
líneas visibles. Existe métodos para realizar esto, el método más sencillo es
el de resaltar las líneas visibles o mostrarlas de un color diferente otra
técnica que se utiliza es muy común para los diseños de ingeniería, que es el
despliegue de las áreas no visibles como son las líneas de rayas, uno
planteamiento mas consiste en eliminar las líneas ocultas. Pero si se realiza
esto, se puede eliminar la información de la forma de la superficie traseras
del objeto. Estos métodos mencionados de línea visible también identifican las
superficies de los objetos.
Si se debe de desplegar algún objeto con color o con una superficie
sombreada se aplican procedimientos de de representación de superficies para
las superficies visibles, para que se obscurezcan las superficies ocultas.
Algunos de los algoritmos de superficie visible dicen que la visibilidad esta
establecida píxel por píxel a lo largo de la pantalla y otros algoritmos
determinan la visibilidad para las superficies de un objeto como un todo.
Representación de superficie Se puede obtener un realismo mayor si se
representan las superficies de los objetos al utilizar condiciones de
iluminación de una escena y de las características que se le asignen a la
superficie. Las condiciones de luz se establecen al identificar el color y la
ubicación de las fuentes de luz, al igual de definir efectos de iluminación de
fondo. Las propiedades de la superficie pueden incluir in formación de la
superficie si está trasparente u opaca, al igual si es suave o rugosa.
Bibliografía:
Gráficos por computadora 2da edición Donald Hearn , M. Pauline Baker Pretice Hall Página. 358-359
Gráficos por computadora con OpelGl 2da edición Donald Hearn , M. Pauline Baker Pretice Hall Página. 315-316
Gráficos por computadora 2da edición Donald Hearn , M. Pauline Baker Pretice Hall Página. 358-359
Gráficos por computadora con OpelGl 2da edición Donald Hearn , M. Pauline Baker Pretice Hall Página. 315-316
Links de información:
Integrantes:
Escobedo Valdez
Rubèn
Francisco Hernàndez
Zamara
Hernàndez Mora Marco
I.
Mar Gaspar Josè E.
Pèrez Martìnez Erika
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